La proporció àuria és una proporció que s’ha considerat la més perfecta i harmoniosa des de l’antiguitat. Forma la base de moltes estructures antigues, des d’estàtues fins a temples, i és molt comú a la natura. Al mateix temps, aquesta proporció s’expressa en construccions matemàtiques sorprenentment elegants.
Instruccions
Pas 1
La proporció àuria es defineix de la següent manera: es tracta d’una divisió d’un segment en dues parts que la part més petita es refereix a la més gran de la mateixa manera que la part més gran es refereix a tot el segment.
Pas 2
Si la longitud de tot el segment es pren com a 1 i la longitud de la part major es pren com a x, la proporció buscada s’expressarà mitjançant l’equació:
(1 - x) / x = x / 1.
Multiplicant els dos costats de la proporció per x i transferint els termes, obtenim l’equació de segon grau:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Pas 3
L’equació té dues arrels reals, de les quals naturalment només ens interessa el positiu. És igual a (√5 - 1) / 2, que és aproximadament igual a 0, 618. Aquest nombre expressa la proporció àuria. En matemàtiques, la majoria de les vegades es denota amb la lletra φ.
Pas 4
El nombre φ té una sèrie de propietats matemàtiques notables. Per exemple, fins i tot a partir de l'equació original es veu que 1 / φ = φ + 1. De fet, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Pas 5
Una altra manera de calcular la proporció àuria és utilitzar una fracció infinita. A partir de qualsevol x arbitrari, podeu construir una fracció de manera seqüencial:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
etc.
Pas 6
Per facilitar els càlculs, aquesta fracció es pot representar com un procediment iteratiu, en el qual per calcular el pas següent, cal afegir-ne un al resultat del pas anterior i dividir-ne una pel nombre resultant. En altres paraules:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Aquest procés convergeix i el seu límit és φ + 1.
Pas 7
Si substituïm el càlcul del recíproc per l'extracció de l'arrel quadrada, és a dir, realitzem un bucle iteratiu:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), llavors el resultat es mantindrà sense canvis: independentment de la x escollida inicialment, les iteracions convergeixen al valor φ + 1.
Pas 8
Geomètricament, la proporció àuria es pot construir utilitzant un pentàgon regular. Si hi dibuixem dues diagonals que es tallen, cadascuna d’elles dividirà l’altra estrictament en la proporció àuria. Aquesta observació, segons la llegenda, pertany a Pitàgores, que va quedar tan commocionat pel patró trobat que va considerar que l'estrella correcta de cinc puntes (pentagrama) era un símbol diví sagrat.
Pas 9
Es desconeixen les raons per les quals és la proporció àurea la que sembla més harmònica per a una persona. No obstant això, els experiments han confirmat reiteradament que els subjectes als quals se'ls va indicar que dividissin el segment en dues parts desiguals ho fan molt bé en proporcions molt properes a la proporció àuria.
